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「2014 丙紳 NTUEE 機率與統計期末考題:謎の味殺人事件」 已關閉迴響。

「2014 丙紳 NTUEE 機率與統計期末考題:謎の味殺人事件」

2014
06.19

(丙紳按:搞到清晨五點就是這題啊~)

2014 夏,Dr. Jones (簡稱瓊博) 受 Prof. Hey (老葉) 之邀,再次到東鯤太學訪問一個暑假。有天,瓊博說想去有名的沒你發摩天輪上看夜景,便拉了老葉一起去。老葉百般不願的去了,不料週末夜人很多。排了很久終於輪到他們,但在前面的一群旅客進去後,只剩一個位子。收票者問誰要先進去?老葉往廂內一探,看到一群東洋小孩。,其中有一位矮矮的、戴著眼鏡、穿著藍色西裝紅色蝴蝶結。

老葉看了之後,楞住了!這…這…不是有名的東洋賽神嗎?他退了三步,不料瓊博以為老葉要讓他先上。待老葉回神之際,瓊博早已一個箭步踏入廂內,門也鎖上了。老葉見狀拍門驚呼:「危險啊!快出來!快出來!」,然為時已晚…

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  • a. 已知賽神柯西常碰上殺人事件。每個事件跟下個事件之間的事件間隔時間長度,都是獨立且具有相同機率分布的連續隨機變數(單位:日)。每次的間隔時間長度,期望值為一日。奇怪的是,不管距離前一個事件已經多久沒出事,對於之後還有多久才會發生事件,似乎完全沒有影響。每次事件死亡人數不是一個人就是兩個人,機會均等。請問柯西這次七天的旅行中,他遇上的所有殺人「事件」的總數,其MGF為何? (Hint: 七天內殺人「事件」的總數是哪個學過的離散機率分布?) (5%)
  • b. 承a,請問柯西七天旅行遇上的所有殺人事件的死亡總人數之MGF為何?(5%)
  • c. 承a,請問柯西七天旅行遇上的所有殺人事件的死亡總人數之期望值為何?(5%)
  • d. 承a,請問柯西七天旅行遇上的所有殺人事件的死亡總人數之變異數為何?(5%)

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老葉原本急著進入下個車廂以就近觀察瓊博車廂狀況,但進去前無意瞄到身後跟著要一起上車的是一群穿著「不動高中」校服的高中生,其中有位男生還綁著馬尾。老葉嚇的倒彈三尺,頹然放棄登車,峱峱般的在一樓等瓊博。

半小時後瓊博終於回到一樓,並熱心介紹剛認識的柯西給老葉認識。老葉只想趕快脫身,但最惱人的是瓊博竟還拉著柯西跟老葉說要一起去吃飯!老葉著實無奈,怕老友出事只好跟著去。餐廳很大,是個三十公尺見方的空間。老葉坐在圖示的位置。入坐時,老葉被門口的雕像給吸引了。眼睛一直看著雕像。

滑動1

圖一:餐廳平面圖

突然,餐廳某處出現了一聲悽厲的叫聲「啊~~你~~」,老葉一聽便知又出事了!

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  • e. 已知出事處可能是餐廳內任何地方,落在餐廳內的任何點的可能性都相等。若以老葉觀察雕像的視線為基準,出事處與老葉視線所夾的夾角(0~2π)之PDF為何?(5%)
  • f. 承e,出事處與老葉視線所夾的夾角之期望值為何?(5%)
  • g. 老葉善於以視角餘光觀事。通常老葉視角正負六十度之間的事物都看的很清楚。請問事件發生之時,剛好有被老葉看到事發經過的機率為何?(5%)

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當眾人往悽厲聲處望去,只見桌上有著一碗泡麵,一名年輕男子口吐白沫倒於地上。該男子身著吊嘎、短褲、藍白拖,十足宅男模樣。掉落身旁的湯匙已有螞蟻聚集。

瓊博衝上去,欲對男子做 CPR。老葉靈鼻忽嗅杏仁味,虎目一睜,長嘯:「且慢!!」制止瓊博。老葉怒瞪柯西,柯西聳肩道「怪我喔?常碰到氰化鉀又不是我的錯!」原來男子是因氰化鉀中毒而亡。若老葉再晚一步,怕瓊博此時已成亡魂了。瓊博不禁冷汗直冒,直向老葉稱謝。

警方馬上調閱馬路監視器,發現案發後不久,在餐廳附近只有兩個人曾搭車離開。根據車牌記錄,追查到身著咖啡色俏麗洋裝、樣貌秀麗絕倫的A妹,以及身著系服、模樣頹瑣的B宅。警方將兩人帶到警局問案,並派人拿著兩人照片問案發時曾在餐廳用餐的 500 名客人, 在他們印象中,死者生前最後是跟誰講話?

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  • h. 根據訪談結果,最後跟死者說話是A妹的人佔 45%,其餘人皆曰最後與死者說話的是B宅。請問對於A妹是否是最後與死者交談者的訪查結果,若要可信度達 90% ,這訪談結果的信賴區間為何?請詳細說明如何計算得到此區間方得滿分。(5%)

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(丙紳按:從這邊開始搭配音樂聽比較有fu~  http://youtu.be/fThA87BB5Rw

正當警方要釋放A妹時,老葉突瞥柯西一副鬼祟模樣,右手偷偷模模往手錶處移動。老葉馬上護著脖子怒喝:「小鬼你敢刺我,我馬上翻臉!」。眾人不知老葉所言何事,但見柯西低頭不語。突然,一向不會說日語的瓊博突然對A女說起日語,現場有即時口譯:

瓊博:「人就是妳殺的,還不承認?」

A妹:「你…別…血口噴人…」

瓊博:「真相只有一個,妳的洋裝已經說出事實了!」

A妹:「什麼?」

瓊博:「在妳進來不久,螞蟻便在妳衣角聚集。這表示妳的衣服有沾到糖。但妳之前沒發現有沾到糖。為什麼?因為妳沾上的是跟衣服顏色相同的焦糖,所以你沒發現!」

A妹此時突然神色大變~

瓊博:「當初死者泡麵湯匙有螞蟻聚集,我早就懷疑了。我從死者口中聞到杏仁味外,還有一股濃濃的玉米味!是的,這就是現在網路最夯的泡麵加布丁的吃法。妳的焦糖,就是倒布丁時不小心留下的痕跡!為何妳要殺人?!」

A妹:「其實…他是我男友。他騙我說泡麵加布丁很好吃!可是根本不好吃!而且害我被一群可怕的室友嘲笑!!」

瓊博:「就因為這樣…妳就殺了他?我一直不解的是,為什麼死前他還痛苦的把布丁吃光?原來,他是怕人追查到女友,所以才死前很痛苦的把布丁硬吞完的啊!」

A妹:「啊!我這樣對他,他竟然還為我…」(眼淚打轉)

在旁的胖警伯拿出了一張皺掉的紙,上面寫的密密麻麻的。警伯:「這是男孩死前緊握的,應該是要給妳的!」

A妹一看,竟是明天要考的「信號與系統」期末考的大抄,上面寫著:

「琳,傅立葉轉換不難喔,加油喔!」

A妹登時崩潰,放聲大哭,哭聲悽厲:

「我們曾是那樣的幸福,為什麼你要騙我吃泡麵加布丁?為什麼?為什麼?!!」

在場眾人見狀,無不動容掉淚…

老葉長嘆:「誰說阿宅就是魯蛇?誰說阿宅就不能有秀麗女友?誰說泡麵加布丁會好吃的?世人愚昧至此,可悲至極、可笑至極…唉…」

瓊博悠然醒轉,已是後話,暫且不表。

(怪題歡迎分享~)

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